【汇旺担保】泰勒级数

0
(0)

[拼音]:taile jishu

[外文]:Taylor series

(1)

级数(1)称为函式ƒ(z)在点z=α的泰勒级数。当α=0时,称为马克劳林级数。

设z是圆│

(2)

因为

并且右边的级数在γ上一致收敛,所以将此式代入(2)式,逐项积分后就得到

, (3)

式中

。 (4)

零点

若ƒ(α)=ƒ′(α)=…=ƒ(m-1)(α)=0,ƒ(m)(α)≠0,则称α是ƒ(z)的一个m级零点。特别地,若m=1,则称α是ƒ(z)的一个简单零点。

根据解析函式可以展为泰勒级数的上述事实,可以得到解析函式以下两个重要性质。

(1)零点的孤立性若ƒ(z)是域D内不恒为零的解析函式,则ƒ(z)在D内的零点是孤立的。也就是说,若ƒ(α)=0 (α∈D),则存在α的一个邻域,使得ƒ(z)在该邻域内除α点外没有其他零点。

(2)惟一性定理 设ƒ1(z),ƒ2(z)是域D内的两个解析函式,若存在点集A嶅D,它有一个属于D的极限点α,且在A上ƒ1(z)=ƒ2(z),则在D内ƒ1(z)=ƒ2(z)。惟一性定理可由零点孤立性推出。

柯西不等式

的系数сn满足不等式

(5)

事实上,由(4)式得

令r→R,就得到(5)式。

刘维尔定理

若ƒ(z)是有穷复平面上的有界解析函式,则ƒ(z)必为常数。

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